CST studio suite案例：利用三维电磁仿真设计超导传输子量子比特电路

量子比特（qubit）是量子计算领域中信息的基本单位。与经典计算中只有两种截然不同的状态（比特0和比特1）不同，量子比特可以同时处于两种状态的线性组合（叠加态），并且它们之间可以相互关联，使得一个状态能够瞬间影响另一个状态（纠缠态）。正是由于量子比特的这两个关键特性，计算机的处理能力才能呈指数级增长。量子比特的物理实现方式包括使用光子、囚禁离子（利用电磁场束缚的单个带电原子）或超导电路。其中，超导电路是最成熟、应用最广泛的技术，因为它能够基于现有的半导体制造工艺构建。超导量子比特电路有多种类型，本文将重点介绍一种特定的设计，即超导量子比特电路。

 

 

 

超导量子比特电路

在一个量子比特系统中，传输子量子比特电路的集成电路通常由四个组件构成：

l 馈线

l 谐振器

l 带有一个约瑟夫森结（JJ）的Transmon量子比特

l 当前偏置线

 

图 1. 一个传输子量子比特电路的典型示意图。

 

在这种情况下，超导量子比特由一个约瑟夫森结（JJ）构成。它位于超导量子比特的中心，并与两个金属焊盘相连。约瑟夫森结是超导量子比特的关键部分。约瑟夫森结结构由两个超导体组成，中间由一层薄绝缘层隔开。超导体通常由铝（Al）制成，在1.2 K以下变为超导态。普通电感器的电感值是恒定的，而约瑟夫森结的电感值是非线性的。随着能量的增加，其电感值会增大或减小。谐振器和馈线采用共面波导（CPW）结构，具有非典型的50欧姆特性阻抗。谐振器和馈线用于测量量子比特的状态。通过电流偏置线产生微弱磁场，可以测量约瑟夫森结电感的变化。

 

超导量子比特芯片组件

图 2. 典型超导量子比特芯片组件的简化。

 

超导量子比特电路集成在一个芯片上，然后连接到印刷电路板 (PCB) 上，以实现测量或量子比特操控。图 2 显示了典型的超导量子比特芯片组件的简化示意图。量子比特芯片安装在 PCB 中心的一个凹槽内 (C)。为了实现量子比特操控和读出，芯片通过引线键合连接到 PCB 走线 (B)，并将微波信号路由到边缘安装的 SMA 连接器 (A)。高频信号通过这些 SMA 连接器传输到测量设备并从测量设备传输。PCB 的尺寸在毫米级，而量子比特芯片的尺寸在亚毫米级。整个组件在稀释制冷机中冷却至接近绝对零度，温度为几十毫开尔文。在这个温度下，由铝或铌等超导体制成的电子电路可以无电阻流动，使其表现得像用作量子比特的人工原子一样。

 

超导材料定义

在三维电磁仿真中，超导材料可以通过两种方式定义。最简单的方法是定义一种无损耗材料，例如理想导体（PEC）或无损耗的普通材料，例如衬底。这种方法足以获得设计谐振频率。然而，为了精确计算品质因数（Q值），不建议使用无损耗材料定义，因为它会导致Q值过高。因此，使用有损耗材料可以获得更精确的Q值，但需要略微增加计算资源。在CST Studio Suite中，超导材料的属性是通过表面阻抗建模来定义的。这种方法是有效的，因为超导体的厚度通常为几微米。超导材料的定义位于：VBA宏->材料->表格化表面阻抗（宽带），如图3所示。

 

图 3. 超导材料的表面阻抗定义表。

 

为了计算表面阻抗 Z，需要定义材料属性，例如室温电导率、超导工作温度、伦敦穿透深度和临界温度。对于衬底材料，定义具有极低损耗（TanD=1e-6）的硅，其 Epsr=11.9。有关 CST 中超导材料定义的更多详细信息。

 

设计参数

大多数量子测量硬件针对 4 GHz 至 8 GHz 的频率进行了优化。因此，超导量子比特的频率为 5 GHz。为了避免对量子比特的干扰，谐振器的频率设置为 7 GHz。为了获得性能良好的超导量子比特，还需要满足一些额外的约束条件，例如
|α| > 200 MHz (1) 和
E_j/E_c > 50 (2)。

 

α 代表非谐性，较大的非谐性有助于将 |0⟩ 和 |1⟩ 能级与更高能级隔离，同时 E_j/E_c 的比值需要足够大，以使其对电荷噪声不敏感。约瑟夫森结能量 (E_j) 和充电能量 (E_c) 均可用 MHz 表示如下：
E_c = e^2/(2∙C∙h)∙10^(-6)
(3)
E_j = 〖Φ_0〗^2/((2π)^2∙L_j∙h)∙10^(-6)
(4)

 

已知 e = 1.602∙10^(-19) 库仑，Φ_0 为超导磁通量子（~ 2.067∙10^(-15) Wb），h 为普朗克常数（~ 6.626∙10^(-34) Js）。由于我们需要满足方程 (2)，非谐性和充电能可以近似表示为
α= -E_c (5)。

 

传输子量子比特电容

为了根据式 (3) 计算充电能 Ec，我们需要确定超导量子比特的电容 C。超导量子比特的电容使用静电势求解器计算。超导量子比特的尺寸如图 4 所示。金属化层厚度为 20 μm。

 

 

图 4. 具有尺寸的 Transmon 量子比特设计。

 

利用静电求解器，基于500μm x 200μm的焊盘尺寸计算出电容值C= 93.5fF。将该电容值代入公式(3)，得到充电能量Ec = 207 MHz。实际上，约瑟夫森结的电感Lj通常在1nH到20nH之间。本例中，约瑟夫森结的电感Lj设定为10 nH。根据公式(4)，Ej为16333MHz。E_j/E_c的比值约为78.87。根据公式(5)，非谐性为-207 MHz；因此，满足设计约束条件。

 

盒模计算

实际上，为了隔离环境噪声，超导量子比特芯片被放置在金属盒内。最低的盒模谐振腔谐振频率应大于超导量子比特和谐振器的谐振频率，以防止量子比特或谐振器与金属盒之间发生能量耦合。最低的盒模谐振腔谐振频率可以通过本征模求解器或矩形波导的解析公式[2]轻松获得，公式为：
f_mnl= c_0/(2π√(ε_r )) √((mπ/a)^2+(nπ/b)^2+(lπ/c)^2 )
(6)

 

考虑到量子比特芯片的尺寸（2758μm x 3000μm x 1500μm），最低盒模频率为73.82GHz。由于最低盒模频率远高于超导量子比特和谐振器的谐振频率，因此我们无需考虑盒模与量子比特之间的相互作用。此外，这允许我们在使用本征模求解器和频域求解器进行模拟时选择接近边界条件（Et=0）。

 

传输子量子比特、谐振器和馈线

为了模拟超导量子比特和谐振器频率，这里使用了本征模求解器。约瑟夫森结无法用三维求解器进行模拟。为了考虑约瑟夫森结的影响，使用了一个电感值为 Lj = 10 nH 的集总元件，并将其连接在两个导体焊盘之间。读出路径由谐振器和馈线组成。两者都是共面波导 (CPW)，信号线宽度为 10 μm，信号线与接地平面之间的间隙为 6 μm。这使得线路特性阻抗为 50 欧姆。

 

该谐振器设计为四分之一波长 (λ/4) 谐振器。谐振器的一端开路，通过电容耦合连接到超导量子比特，另一端接地。短路端通过电感耦合连接到馈线。因此，在该端，电压几乎为零，电流最大。超导量子比特、谐振器和馈线的完整模型如图 5 所示。

 

图 5. 采用 CST 的 Transmon 量子比特、谐振器和馈线模型。

在馈线的两端，波导端口被配置为终止馈线。利用这些波导端口，本征模求解器还可以计算 Qext 值。该 Qext 值指示量子比特免受外部干扰的程度。本征模求解器还提供 Qtotal 值，该值包含了所有内部损耗。
利用量子比特的 Qtotal 值，我们可以估算量子比特的弛豫时间 (T1)
：T_1=Q_total/f_q (7)。
利用谐振器的 Qext 值，我们可以估算读出时间 (Tr)：
T_r=Q_ext/f_r (8)。

 

特征模求解器仿真结果

本征模求解器的频率范围为 4 GHz 至 8 GHz，并配置为支持两种计算模式。模式 1 和模式 2 的电场分布分别如图 6 和图 7 所示。模式 1 的场分布集中在频率为 5.18 GHz 的超导量子比特上，而模式 2 的频率为 7.017 GHz，其场分布集中在谐振器上。模式 1 的总量子数 Qtotal 近似值为 1.27×10⁶，这表明量子比特与馈线隔离良好，且未与其耦合。将此 Q 值代入公式 (7)，可得能量弛豫时间为 245.3 μs。模式 2 的模拟外部量子数 Qext 为 15839。利用公式 (8)，可得读出时间为 2.25 μs。因此，可以使用数百纳秒的读出脉冲来读出量子比特。这比量子比特的退相干时间要快。根据[1]，量子比特的退相干时间约为50微秒至200微秒。

 

 

图 6. 模式 1 的电场图。

 

 

图 7. 模式 2 的电场图。

 

频域求解器仿真

为了模拟约瑟夫森结的电感变化，我们使用了频域求解器。由于该结构具有很高的Q值，强烈建议使用FROM（快速降阶模型）求解器。集总元件被离散端口所取代，频域求解器仿真运行所有端口定义以生成完整的S矩阵。我们采用了所谓的电磁电路耦合仿真方法，其中电感连接在电路仿真器CST Design Studio中实现。这种方法可以提高仿真效率，因为电路仿真比完整的3D仿真运行速度更快。图8展示了transmon量子比特模型，其中端口3被定义为取代集总元件。图 9 显示了在 CST 设计工作室中实现的相应电路原理连接。端口 1 和端口 2 接 50 欧姆，端口 3 代表内部局部连接端口，接 1e-5 欧姆，表示电感器的寄生阻抗几乎为零。

 

 

图 8. 使用 fd-solver 的 Transmon 量子比特模拟模型。

 

 

图 9. 用电感器表示约瑟夫森结电感的电路原理图。

通过分别将电感值 Lj 设置为 10nH、11nH 和 12nH，我们可以观察 S1,3 的结果来获得谐振器处的频率偏移。这三条曲线如图 10 所示。

 

 

图 10. 不同 Lj 值对应的 S1,3 结果不同。

 

电感的变化会使谐振器频率发生偏移，这种现象称为交叉克尔效应 (χ)。2χ 类似于半峰全宽 (FWHM) Δf。Δf 可以从 S1,3 曲线的最大值处读取，该最大值约为 500kHz-700kHz。交叉克尔效应 (χ) 可以用以下公式表示：
χ≈g^2/∆ (α/(∆+α))
(9)

 

失谐量（∆）定义为超导量子比特（模式 1）和谐振器（模式 2）之间的共振频率差，其表达式如下：
∆ = f_resonator-f_qubit (10)

 

使用 700 kHz 的 Δf，耦合强度 g 可由式 (9) 计算得出，约为 72.8 MHz。耦合强度小于失谐量 (Δ) 是一个不错的选择，因为它可以提供良好的读数。计算交叉克尔效应的另一种方法是使用能量参与比 (EPR)。

 

结论

使用三维电磁仿真工具可以帮助工程师加速并精确设计超导量子比特、谐振器和馈线。静态求解器用于计算超导量子比特的电容。本征模求解器可用于计算超导量子比特和谐振器的模式频率，而频域求解器则能通过扫描约瑟夫森结电感Lj来高效地模拟交叉克尔效应(χ)。此外，本文还展示了使用仿真工具设计量子比特读出柔性PCB的优势，该PCB负责将信号从量子比特芯片传输到主计算机。