在弹塑性有限元分析计算中，应力张量更新算法的选择是VUMAT子程序编写过程中的核心问题。传统弹塑性应力更新算法的求解是先依据广义Hooke定律计算总应力增量，再计算试探应力，代入屈服准则判断材料点是否屈服。
如果尚未屈服，则材料点仍处于弹性变形阶段，总应力即等于试探应力；若材料点已经进入塑性变形阶段，则应变增量由弹性部分和弹塑性部分Δε=Δεe+Δεep组成。在此算法中，每一个增量步都必须首先对Δεep进行迭代更新，故计算量大、效率低，且在迭代计算过程中易积累计算误差，影响计算结果精度。因此，本章基于显式径向返回算法，采用显式的应力更新方法对JC硬化模型编写了VUMAT子程序。显式的应力更新算法如下。
（1）假设第n个增量步开始时刻t的所有值及时间步长内的应变增量已知。假定材料处于弹性阶段，计算n+1时刻偏应力的试探值，即其中，为总偏应变增量，此时刻偏应力试探值的等效应力为
（2）如果试探等效应力大于屈服应力，Mises屈服条件不满足，试探应力落在屈服面外。其中利用返回算法，将试探应力等比例缩小使其回到屈服面上，式中将式（11-4）代入式（11-6）刚好使试探应力落在屈服面上，m即为缩放因子。
（3）从总偏应变增量中减去弹性偏应变增量得到塑性应变增量，即利用式（11-3）、式（11-6）和式（11-10）可以得到等效塑性应变增量为
（4）将n+1时刻的屈服应力（JC模型）进行Taylor展开，即式（11-12）和式（11-13）联立可得。
11.4 VUMAT子程序的编写
ABAQUS用户子程序VUMAT的接口提供了依赖于结果的状态变量，用于存储在计算时用户定义的需要不断更新的状态变量。实现材料本构模型的VUMAT子程序计算流程图和计算步骤如图11-1所示。
（1）从子程序接口读入本增量步的应变增量Δε，增量步开始时的应力张量σt和等效塑性应变。
（2）计算试探应力。
（3）调用子程序，计算初始屈服应力ys。
（4）将试探应力代入屈服准则，判断是否屈服。
（5）如果没有屈服，，转到步骤（8）。
（6）如果屈服，计算本增量步的塑性应变增量，利用径向返回补偿算法更新本增量步结束时的应力。
（7）更新内能、消耗的无弹性能、等效塑性应变、各状态变量的值。
（8）结束，返回主程序。
（内容、图片来源：《ABAQUS 2020有限元分析从入门到精通》，侵删）
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