本节讲述了ABAQUS/Explicit求解器的算法，对隐式和显式时间积分做了比较，并探讨了显式方法的优越性。
7.2.1 显式时间积分
ABAQUS/Explicit应用中心差分方法对运动方程进行显式的时间积分，应用一个增量步的动力学条件计算下一个增量步的动力学条件。在增量步开始时，程序求解动力学平衡方程，表示为用节点质量矩阵M乘以节点加速度ü等于节点的合力（所施加的外力P与单元内力I
的差值），即
在当前增量步开始时（t时刻），计算加速度为
由于显式算法总是采用一个对角的或者集中的质量矩阵，所以求解加速度并不复杂，不必同时求解联立方程。任何节点的加速度完全取决于节点质量和作用在节点上的合力，使得节点计算的成本非常低。
对加速度在时间上进行积分采用中心差分方法，在计算速度的变化时假定加速度为常数。应用这个速度的变化值加上前一个增量步中点的速度来确定当前增量步中点的速度，即
速度对时间的积分加上在增量步开始时的位移以确定增量步结束时的位移，即
这样，在增量步开始时提供了满足动力学平衡条件的加速度。得到了加速度，在时间上显式地前推速度和位移。所谓显式是指在增量步结束时的状态仅依赖于该增量步开始时的位移、速度和加速度。这种方法精确地积分常值的加速度，为了使该方法产生精确的结果，时间增量必须相当小，这样在增量步中加速度几乎为常数。由于时间增量步必须很小，所以一个典型的分析需要成千上万个增量步。幸运的是，因为不必同时求解联立方程组，所以每一个增量步的计算成本很低，大部分的计算成本消耗在单元的计算上，以此确定作用在节点上的单元内力。单元的计算包括确定单元应变和应用材料本构关系（单元刚度）确定单元应力，从而进一步计算内力。下面给出了显式动力学方法的总结。
（1）节点计算。
动力学平衡方程为
对时间显式积分
（2）单元计算。
根据应变率 ，计算单元应变增量dε。
根据本构关系计算应力σ为
（3）设置时间t为t+∆t，返回到步骤（1）。
7.2.2 比较隐式和显式时间积分程序
对于隐式和显式时间积分程序，都是以所施加的外力P、单元内力I和节点加速度的形式定义平衡，即
其中，M是质量矩阵。两个程序求解节点加速度，并应用同样的单元计算以获得单元内力，两个程序之间最大的不同在于求解节点加速度的方式上。在隐式程序中，通过直接求解的方法求解一组线性方程组，与应用显式方法节点计算的成本相比，求解这组方程组的计算
成本要高得多。
在完全牛顿迭代求解方法的基础上，ABAQUS/Standard使用自动增量步。在时刻t+∆t增量步结束时，牛顿法寻求满足动力学平衡方程，并计算出同一时刻的位移。由于隐式算法是无条件稳定的，所以
时间增量∆t比应用于显式方法的时间增量相对大一些。对于非线性问题，每一个典型的增量步需要经过几次迭代才能获得满足给定容许误差的解答。每次Newton迭代都会得到对于位移增量Duj的修正值cj。每次迭代需要求解的一组瞬时方程为
对于较大的模型，这是一个高成本的计算过程。有效刚度矩阵是关于本次迭代的切向刚度矩阵和质量矩阵的线性组合，直到这些量（如力残差、位移修正值等）满足了给定的容许误差才结束迭代。对于一个光滑的非线性响应，Newton方法以二次速率收敛，迭代相对误差的描述如表7-1所示。
表7-1 迭代相对误差
然而，如果模型包含高度的非连续过程，如接触和滑动摩擦，则有可能失去二次收敛，并需要大量的迭代过程。为了满足平衡条件，需要减小时间增量的值。在极端情况下，在隐式分析中的求解时间增量值可能与在显式分析中的典型稳定时间增量值在同一量级上，但是
仍然承担着隐式迭代的高成本求解成本。在某些情况下，应用隐式方法甚至可能不会收敛。
在隐式分析中，每一次迭代都需要求解大型的线性方程组，这一过程需要占用大量的计算资源、磁盘空间和内存。对于大型问题，对这些方程求解器的需求优于对单元和材料的计算的需求，这同样适用于ABAQUS/Explicit分析。随着问题尺度的增加，对方程求解器的需求迅速增加，因此在实践中，隐式分析的最大尺度常常取决于给定计
算机中的磁盘空间和可用内存的大小，而不是取决于需要的计算时间。
7.2.3 显式时间积分方法的优越性
显式方法尤其适用于求解高速动力学事件，它需要许多小的时间增量来获得高精度的解答。如果事件持续的时间十分短，则可能得到高效率的解答。
在显式方法中可以很方便地模拟接触条件和其他一些极度不连续的情况，并且能够一个节点一个节点地求解而不必迭代。为了平衡在接触时的外力和内力，可以调整节点加速度。
显式方法最显著的特点是没有在隐式方法中所需要的整体切向刚度矩阵。由于是显式地前推模型的状态，所以不需要迭代和收敛准则。
（内容、图片来源：《ABAQUS 2020有限元分析从入门到精通》，侵删）
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